大家好，今天我们来聊聊伯努利方程。

伯努利方程是物理学和工程学中一个虽然简单但极为重要的方程，该方程可以帮助我们深入地了解大千世界中流体的流动行为。从本质上看，该方程描述了流动着的流体中，压力、速度和高度三者之间的关系。

什么是伯努利方程？

伯努利方程在工程上有非常多的应用，例如可以用它来解释飞机是如何产生升力的？或者计算液体从容器内流出时的速度等等问题。

在探讨这些应用之前，我们先来看看什么是伯努利方程？它是由瑞士物理学家丹尼尔伯努利在1738年所发表的，该方程的表达式如下，等式左边三项之和沿流线保持不变，且它们的量纲都是压力，第一项为静压，也就是我们常说的流体压力P；第二项为动压，它是有关流体密度ρ与速度v的函数，表示的是单位体积流体的动能；第三项为静水压力，它是流体受到重力影响而产生的压力，式中g为重力加速度，H为当前位置与参考位置之间的高度差，这就是伯努利方程的压力表达式，当然它也可以表示成水头形式或者是能量形式。

我们还可以将伯努利方程看作是能量守恒定律的一种表达，其含义是，沿着流线方向，压力能、动能、势能三者之和是保持恒定的。这是一个非常有价值的信息，它可以帮助我们分析一系列流体的流动问题。当然需要强调的是，该方程只能沿着流线方向使用。所谓的流线，我们可以将其定义为，在稳态流动中，流体内部单个粒子的流动路径。更确切地说，它是一条在所有点上都与质点速度相切的曲线。

应用1——伯努利方程在变径管道中的应用

下面，我们应用伯努利方程，来看看流体流过变径管道时的情况。利用伯努利方程，我们既可以了解流体在流过变径管道时，压力的变化情况。还可以用来比较不同位置处的流量情况。为此，我们可以将伯努利方程变换成下面这种形式。

然后，我们取同一条流线上的点1和点2，由于点1和点2两者之间的高度没有明显的变化，我们认为它们近似相等，因此势能这一项可以近似认为相等，就可以相互抵消掉了。

接着，我们把静压项都移到等号的同一侧，这样就可以得到压力变化的方程。如果我们再假设流体是不可压缩的，那么点1和点2的质量流量肯定也是相等的，这就是所谓的连续性方程，它是质量守恒定律的一种表达形式。所谓质量流量就等于流体的密度、管道的截面积以及流速三者的乘积，所以经过变换，这个连续性方程就可以变成点2的速度方程，由于截面积A2要小于A1，这就意味着流体进入直径较小的管段时，流速会增加。

接下来，我们再将左侧的V2带入右侧的伯努利方程中，我们可以看到，由于从点1到点2，流动速度在增加，相反，压力却是在减小的。

用一句话总结就是，对于水平流动而言，流体速度的增加必然会伴随着流体压力的降低。这就是伯努利原理最通俗易懂的表达。虽然说，大家直觉上都会认为，速度的增加必然会导致压力的增加，但事实上并非如此。这一点，我们还可以从能量损失的角度来考虑，也就是说，流体速度增加所消耗掉的能量都是从流体的静压能中获取的。

应用2——飞机的升力是如何产生的？

下面我们利用伯努利原理，来解释一下为什么飞机的机翼能够产生升力？首先，我们知道，流体流过机翼上方的流速要比流过下方的流速更快，根据伯努利原理，此时在机翼上方就会形成低压区，而在机翼下方就形成了相对的高压区，正因为机翼上下两侧存在压力差的缘故，才产生了升力。

应用3——为什么本生灯能使燃气燃烧更充分？

伯努利原理还可以用来解释本生灯的工作原理，当气阀打开时，气体以较高的速度流入灯管，根据伯努利原理，这种高速流动会在灯管中产生一个负压区，从而导致外部的空气被迫压入灯管内，从而使空气和媒气更好的混合，使燃烧更充分。

应用4——如何利用皮托管测量飞机的飞行速度？

一些流量计也是依靠伯努利方程来确定流动流体的速度。皮托管就是这一样一种装置，它经常用来检测飞机的飞行速度，我们这里简单描述一下它的工作原理，如果把一根管子放入流动的液体中，然后在管子的末端安装一个压力计，压力仪表将检测管子末端的压力。在管子入口处流体速度为零点，我们称为滞止点，在该点测得的压力称为滞止压力。我们可以在上游点1和滞止点2之间应用伯努利方程，由于两点势能近似相等，且滞止点2处的速度v2等于0，因此，点2处的滞止压力等于点1处的静压与动压之和。也就是说，点1处所有的动能基本上都在滞止点2处转化成了压力能。此时，如果我们在管子的外面再套上一根末端密封且下游开有小孔的外管，此时外管所测量的就是流体的静压力，而不是滞止压力，知道了这两个压力值，我们就能很容易的确定流速了。

应用5——文丘里流量计的工作原理？

利用伯努利方程制成的另一种流量测量设备就是文丘里流量计，它是一种用于确定管道内介质流速的仪表，主要是通过测量流体流过管道缩颈部位的压力降来工作的。假设我们要确定流量Q，也就是流速乘以点1处的管道截面积，我们可以变换一下压降方程，就可以得到流速的计算公式是这样的。下面我要做的就是确定文丘里流量计的尺寸、流体密度、压力P1和P2，这样流量就可以计算出来了。文丘里流量计内部没有活动部件，是一种简单可靠的管道流量检测设备。其扩散段的长度要明显比收敛段长，这样可以显著减少能量损失。

应用6——如何计算液体从容器内流出时的速度？

让我们再看一下如何利用伯努利方程，计算液体从容器内流出时的速度？假设我们有一个啤酒桶，现在想计算一下酒桶的排空速度，首先要做的是打开酒桶底部的水龙头，然后再在某一条流线上定义两个点，并在这两个点上应用伯努利方程。

这个酒桶顶部设有呼吸口，也就是说它的顶部与大气相连通，而水龙头的出口点2处也是与大气相通的，所以说点1和点2处的静压力都是大气压力，可以相互抵消。另外我们假设这个酒桶足够的大，因此我们可以认为点1的流动速度近似为0。现在我们变换一下伯努利方程，并将啤酒的液位和水龙头之间的高度差定义为H，这样就可以得到啤酒流动速度的表达式V2。